Մաթեմատիկական ամբիոններ

Հանրահաշիվ

Սահմանում 
Այն թվերը, որոնք առաջանում են համրանքի ժամանակ կոչվում են բնական թվեր:
Բնական թվերի բազմությունը նշանակուվում էN տառով:

Սահմանում
Բնական թվերը, նրանց հակադիրները և զրոն կոչվում են ամբողջ թվերի բազմություն:
Բնական թվերի բազմությունը նշանակուվում էZ տառով:

Սահմանում
Բոլոր  տեսքի թվերը, որտեղ m ամբողջ է,  n – ը` բնական, կոչվում են ռացիոնալ թվեր:
Բնական թվերի բազմությունը նշանակուվում է Q  տառով:

Սահմանում 
Այն թվերը, որոնք ներկայացվում են ամբողջ ոչ պարբերական կոտորոկի տեսքով կոչվում են իռացիոնալ թվեր:
Օրինակ =3.141592753…
Ահա և հեշտ և սիրով սովորեցրի մի անսովոր խրթին թիվ:

Սահմանում
Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին կազմում են իրական թվերի բազմությունը:
Բնական թվերի բազմությունը նշանակուվում էR տառով:

Թեորեմ
Պարզ պարբերական տասնորդական կոտորակը հավասար է մի կոտորակի, որի համարիչում գրված է պարբերությունում եղած թիվը, իսկ հայտարարում այնքան ինը, որքան թիվ կա պարբերության մեջ:

Օրինակ`          
  

Թեորեմ
 Խառը անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորոկը հավասար է մի կոտորակի, որի համարիչում գրված է մինչև երկրորդ պարբերությունը եղած թվից հանած մինչև առաջին պարբերությունը եղած թիվը, իսկ հայտարարում այնքան ինը, որքան թիվ կա պարբերության մեջ և այնքան զրո, որքան թիվ կա մինչև պարբերությունը:

Օրինակ`    

Սահմանում
 Բնական թվերը կոչվում են պարզ, եթե բաժանվում են միայն իր և 1-ի վրա:

 Օրինակ` 2; 3; 5; 7; 11; 13;…

Սահմանում 
Բնական թվերը կոչվում են բաղադրյալ, եթե բացի իրենից և մեկից ունեն նաև այլ բաժանարար:

 Օրինակ` 4; 6; 15; 144; 225; …

Սահմանում 
Տրված թվի բաժանարար կոչվում է այն թիվը, որի վրա տրված թիվը բաժանվում է առանց մնացորդի:
 
  Օրինակ` 64-ի բաժանարարներն են`  2; 4;  8; 16;  32;  64 :

Սահմանում
 Տրված թվի բազմապատիկ է կոչվում այն թիվը, որը տրված թվի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի:

 Օրինակ` 6-ի բազմապատիկներն են 6; 12; 18; 24;  30;  36 :

Հատկություն 
Բաժանարարների բազմությունը վերջավոր է, բազմապատիկներինը` անվերջ:

Սահմանում 
Երկու բնական թվեր միմյանց նկատմամբ կոչվում են փոխադարձաբար պարզ, եթե չունեն ընդհանուր բաժանարար:

 Օրինակ` 25 և 16; 11 և 13; 9 և 4

Թեորեմ  
Բնական թիվը բաժանվում է երկուսի վրա, եթե վերջանում է զրոյով կամ զույգ թվանշանով:

Թեորեմ  
Բնական թիվը բաժանվուն է 3-ի վրա, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի վրա:

Օրինակ` 506841= 5 + 0 + 6 + 8 + 4 + 1 = 24 : 3 = 8

Թեորեմ
Բնական թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, եթե այդ թվի վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի:

Օրինակ` 3058924            24 4

Թեորեմ 
Բնական թիվը բաժանվում է 5-ի վրա, եթե այն վերջանում է 0-ով կամ 5-ով:

Թեորեմ  
Եթե թիվը բաժանվում է 2-ի և 3-ի  վրա, ապա բաժանվում է 6-ի վրա:

Թեորեմ 
Եթե թիվը բաժանվում է 2-ի և 4-ի վրա, ապա բաժանվում է 8-ի վրա:

Թեորեմ 
Եթե թիվը վերջանում է երկու զրոներով կամ 25-ով, ապա բաժանվում է:

Օրինակ` 716000; 81025

Թեորեմ 
Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար թվերը վերլուծում ենք պարզ արտադրիչների , վերցնում ենք ընդհանուր արտադրիչները մեծ ցուցիչով և կատարում ենք բազմապատկում:

Օրինակ` Գտնենք 32 և 48 ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

                                            ափըբ=

Թեորեմ
 Մի քանի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար թվերը վերլուծում ենք պարզ արտադրիչների , վերցնում ենք ընդհանուր արտադրիչները փոքր ցուցիչով և կատարում ենք բազմապատկում:

Օրինակ` Գտնենք 2496 և 1236 ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

                                            

                                    (2496,1236)ամըբ==12

Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր

Աստիճանի հիմանակ հատկությունները

1.  ,       
   
   
2. ,             
   
   
3. ,            
   
   
4. ,       
   
   
5. ,              
   
   
6. ,                  
   
   
7. ,                   
   
   
8. ,                       
   
   
9.  ,          , ,
   
   
10.           ,, ,
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. ,                
    
    
14. ,           

Իրական ցուցիչով աստիճանների հատկությունները,

1. Եթե  x>y,  ապա

երբ 
երբ 

2. Եթե  a>b>0,  ապա

երբ 
երբ 

Նյուտոնի երկանդամ կամ բինոմ

Ընդունված է`          
                                   

Քառակուսային եռանդամ

  տեսքի հավասարումը, որտեղ  -ը փոփոխական է, -ն,-ն,-ն որևէ իրական թվեր են (), ընդ որում , կոչվում է քառակուսայինհավասարում:
 բազմանդամը (քառակուսային հավասարման ձախ մասը) կոչվում է քառակուսայինեռանդամ:
   արտահայտությունը կոչվում է     քառակուսային հավասարման տարբերիչ (կամ դետերմինանտ):
Քառակուսային հավասարումների լուծումը
Եթե ,  ապա ունի երկու արմատ` 
:

Եթե  ,  ապա ունի մեկ արմատ`  :

Եթե   ,  ապա արմատ չունի`   :

Մասնավոր դեպքում, երբ b-ն զույգ է (այսինքն,   կամ )  և   ,      ապա հարմար է օգտվել հետևյալ բանաձևից`

 քառակուսայի եռանդամի վերլուծումը արտադրիչների`
, որտեղ -ը  և -ը եռանդամի արմատներն են:

Բերվածտեսքիքառակուսայինհավասարում

Սահմանում  Եթե () քառակուսային հավասարման մեջ  ,ապա կստացվի  տեսքի հավասարում, որը կոչվում  է  բերված տեսքի քառակուսային հավասարում:
Բերված տեսքի քառակուսային հավասարումների լուծումը:
Եթե  (), ապա ունի երկու արմատ`
:
Եթե  (), ապա ունի մեկ արմատ`
:
Եթե  (), ապա արմատ չունի` :

Վիետի թեորեմը

Եթե -ը  և -ը   բերվածտեսքի  քառակուսային հավասարման արմատներն են, ապա

Վիետի թեորեմի հակադարձ թեորեմը

Եթե  և   թվերի համար կատարվում են    հավասարությունները, ապա 
-ը  և -ը   հավասարման արմատներն են: